Cálculo Ejemplos

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x^{4} - 7$ y $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.6.2

Mueve $10$ a la izquierda de $3 x^{4} - 7$ .

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $3$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.11

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

Paso 2.12.2

Mueve $12$ a la izquierda de $5 x^{2} + 1$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $10$ .

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.4

Suma $1$ y $4$ .

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.5

Multiplica $10$ por $- 7$ .

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.6

Multiplica $5$ por $12$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.7.3

Suma $3$ y $2$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Paso 3.5.8

Multiplica $12$ por $1$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

Paso 3.5.9

Suma $30 x^{5}$ y $60 x^{5}$ .

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$