Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

Paso 1.1.4.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

Paso 1.1.4.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

Paso 1.1.4.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

Paso 1.1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Paso 1.1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

Paso 1.1.4.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.4

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.1.2.2.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Paso 3.1.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.5.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ es $(- 1, \frac{3}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \frac{3}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $6.6$ de $3.63$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 2.97$ y $3$ .

$f'' (- 1.1) = 0.03$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.03$ .

$0.03$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $0.03$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.9$ en la expresión.

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $5.4$ de $2.43$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 2.97$ y $3$ .

$f'' (- 0.9) = 0.03$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.03$ .

$0.03$

Paso 6.3

En $- 0.9$ , la segunda derivada es $0.03$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión