Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.2.1.1

Resta $8$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 1.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $24$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - 8} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.2.1.1

Resta $8$ de $24$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.6.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{12 - x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{12 - x}$ como ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 12 - x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $12 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.4

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.13

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.15

Combina $\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1 \cdot {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.17

Reescribe $- 1 {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.18

Mueve ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.5

Suma $- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{24 - x} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{24 - x}$ como ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(24 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 24 - x$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.4

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.13

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.15

Combina $\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1 \cdot {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.17

Reescribe $- 1 {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.18

Mueve ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.5.1

Reescribe ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{12 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.5.2

Reescribe ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 \sqrt{24 - x}))$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- 2 \sqrt{24 - x})$

Paso 1.6.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 8} 2 \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Paso 1.6.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2 \sqrt{12 - x}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Paso 1.6.4

Combina $\frac{2}{2 \sqrt{12 - x}}$ y $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Paso 1.7.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{24 - x}}{\sqrt{12 - x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $24$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - 8}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\sqrt{24 - 8}$ y $\sqrt{12 - 8}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{24 - 8}{12 - 8}}$

Paso 4.2

Resta $8$ de $24$ .

$\sqrt{\frac{16}{12 - 8}}$

Paso 4.3

Resta $8$ de $12$ .

$\sqrt{\frac{16}{4}}$

Paso 4.4

Divide $16$ por $4$ .

$\sqrt{4}$

Paso 4.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Paso 4.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2$