Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Entonces $d u = (2 x + 2) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$2 x + 2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Paso 1.3.3

Resta $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Paso 1.5.3

Resta $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $0$ y en $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Paso 7.3

Divide $0$ por $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Paso 7.4

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$\frac{\ln (0)}{2}$

Paso 8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida