Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 \ln (x)}{2 x} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{3}{2} \int u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} u^{2} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{3}{4} \ln^{2} (x) + C$