Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x + 1$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

Paso 6.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ en $2$ y en $1$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Paso 12.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 4$ y en $- 2$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Suma $2$ y $1$ .

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.3

Mueve $e^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.10

Mueve $e^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.12

Combina $2$ y $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.13.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.13.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Paso 12.3.14

Para escribir $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.15

Combina $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ y $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.17

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.18

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.19

Combina $e^{4}$ y $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.20

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.21

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 12.3.21.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.21.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 12.3.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.2

Multiplica $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ .

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Paso 13.1.1.2.1

Combina $e^{- 4}$ y $\frac{e^{4}}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.2.2

Multiplica $e^{- 4}$ por $e^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.2.2.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.2.3

Simplifica $e^{0}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.3

Multiplica $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ .

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Paso 13.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.3.2

Multiplica $\frac{e^{4}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.3.3

Combina $\frac{e^{4}}{2}$ y $e^{- 2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.3.4

Multiplica $e^{4}$ por $e^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.3.4.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.4

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.5

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1.7.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.7.2

Resta $1$ de $- 6$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ .

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Paso 13.1.3.1

Multiplica $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

Paso 13.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.2

Para escribir $\frac{1}{e^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 e^{4}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.3.1

Multiplica $\frac{1}{e^{2}}$ por $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $e^{2}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.2.1

Mueve $e^{2}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.3.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.3.3

Reordena los factores de $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Paso 13.5

Suma $4 e^{2}$ y $e^{2}$ .

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Forma decimal:

$0.13711673 \dots$

Paso 15