Cálculo Ejemplos

$\sqrt{3 x^{3}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $3 x^{3}$ como $x^{2} \cdot (3 x)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

Paso 1.1.2

Reordena $3$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 7.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 8

Como $3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 13

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 13.2

Resta $2$ de $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 14

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 15

Combina $3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 16

Multiplica $3^{\frac{1}{2}}$ por $3$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Mueve $3$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 16.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$