Cálculo Ejemplos

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arctanh (x)$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.2

La derivada de $arctanh (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Paso 3.1.3.2

Factoriza $2$ de $2 - 2 x$ .

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Paso 3.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Paso 3.1.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Paso 3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Paso 3.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Paso 3.1.3.6

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Paso 3.1.3.7

Suma $0$ y $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Paso 3.1.3.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$