Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Paso 2

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 2.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 2.5

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 5.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 5.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Paso 5.2.10

Resta $2$ de $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Paso 5.2.11

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.12

Multiplica $3$ por $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.13

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{42}{6}$

Paso 5.2.14

Cancela el factor común de $42$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.14.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Paso 5.2.14.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.14.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Paso 5.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Paso 5.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1}$

Paso 5.2.14.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$7$

Paso 6