Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 4 x + 5$ y $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Paso 2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Paso 3

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Paso 4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Paso 5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $(4 x + 5) (- e^{- x})$ en $2$ y en $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Paso 9.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 2$ y en $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.2

Suma $8$ y $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.6

Suma $0$ y $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.7

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.11

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 9.3.12

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Paso 9.3.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Paso 10.1.2

Combina $- 13$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Paso 10.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Paso 10.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Paso 10.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Paso 10.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Paso 10.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Paso 10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Paso 10.4

Resta $4$ de $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Paso 10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Paso 10.6

Suma $5$ y $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Forma decimal:

$6.69930018 \dots$

Paso 12