Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Paso 2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 2.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $- \frac{1}{3} u_{2}$ en $e^{- t^{3}}$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Combina $e^{- t^{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 6

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina las fracciones mediante un denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Paso 6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Paso 6.1.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Paso 6.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Paso 6.1.5

Reescribe $- (e^{- t^{3}} - 1)$ como $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Paso 6.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Paso 6.2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Paso 6.2.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Paso 6.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.3

Como el exponente $- t^{3}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t^{3}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 6.4.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Paso 6.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Paso 6.4.2.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Paso 6.4.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$