Cálculo Ejemplos

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 3.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 7.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ al numerador.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 15.2.3

Reescribe la expresión.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ al numerador.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 15.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 15.3.4

Reescribe la expresión.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.5

Combina $- e^{- 2 x} x$ y $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 15.5.1

Mueve $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.5.2

Para escribir $- x e^{- 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.5.3

Combina $- x e^{- 2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.6

Simplifica el numerador.

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Paso 15.6.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

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Paso 15.6.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 15.6.1.2

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Paso 15.6.1.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Paso 15.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Paso 15.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Paso 15.8

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Paso 15.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Paso 15.10

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Paso 15.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 16

Elimina los paréntesis.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$