Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ fuera de la suma.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Paso 2.2

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Paso 2.3

Simplifica la forma expandida.

$12$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.6

Multiplica $1$ por $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.7

Suma $- 2$ y $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.10

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.11

Resta $6$ de $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 3.2.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Paso 3.2.14

Multiplica $1$ por $8$ .

$- 4 + 8$

Paso 3.2.15

Suma $- 4$ y $8$ .

$4$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$12 - 4$

Paso 5

Resta $4$ de $12$ .

$8$