Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{k x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{k x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k x$ .

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

Paso 4.2

Reordena los factores en $e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ .

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$