Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.3.9

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.1.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.1.4.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.15

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.2.16

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 1.1.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 1.1.2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 1.1.2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 1.1.2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 1.1.2.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 1.1.2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 1.1.2.3.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 1.1.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.1.2.3.16

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.1.2.3.17

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 1.1.2.3.18

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 1.1.2.3.19

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.1.2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Paso 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Paso 1.2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.2.2.4

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 1.2.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.2.6

El MCM de $9, 9, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 3$

Paso 1.2.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 1.2.2.8

El MCM de $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{5}{3}}$

Paso 1.2.2.9

El MCM para $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ es la parte numérica $9$ multiplicada por la parte variable.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$8 - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ .

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Paso 1.2.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ al numerador.

$8 + \frac{- 2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.4.2

Factoriza $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ de $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.4.3

Factoriza $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ de $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 8$

Paso 1.2.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.3.1.1

Simplifica ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.1.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.4.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 8 x^{1} = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.1.1.4

Simplifica.

$- 8 x = {(- 8)}^{3}$

Paso 1.2.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$- 8 x = - 512$

Paso 1.2.4.4

Divide cada término en $- 8 x = - 512$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.4.1

Divide cada término en $- 8 x = - 512$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Paso 1.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 1.2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Paso 1.2.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 512}{- 8}$

Paso 1.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.4.3.1

Divide $- 512$ por $- 8$ .

$x = 64$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x^{1}}$

Paso 2.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x}$

Paso 2.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 64) \cup (64, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 64)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{5}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f'' (0) = Undefined$

Paso 4.6

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 64)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 64)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(64, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $66$ en la expresión.

$f'' (66) = \frac{8}{9 {(66)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(66)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}} \cdot 66^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $66^{\frac{4}{3}}$ por $66^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.2.1

Mueve $66^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot (66^{\frac{1}{3}} \cdot 66^{\frac{4}{3}})}$

Paso 5.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Paso 5.2.3.2.4

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (66) = \frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(64, \infty)$ porque $f'' (66)$ es negativa.

Cóncavo en $(64, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 64)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(64, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7