Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 2.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Paso 2.1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Resta $18 e^{3 x^{2}} x$ de $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Paso 3.3

Mueve $18$ a la izquierda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{18}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{18}$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{18}$ y $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 7.2.2

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 7.2.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 7.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $- 10$ y $18$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$