Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \sin (3 x)}{\tan (5 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (5 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \sin (3 x)}{\tan (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + \sin (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.4.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.5.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}$

Paso 1.3.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) \cdot 5}$

Paso 1.3.9

Mueve $5$ a la izquierda de $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{5 \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Paso 2.8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 2.10

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (0)}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sec^{2} (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1^{2}}$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1}$

Paso 4.3

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 5$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} \cdot 5$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$1$