Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Paso 4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Paso 5

Completa el cuadrado.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Expande $(1 - x) (1 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Paso 5.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Paso 5.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Paso 5.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Paso 5.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Paso 5.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Paso 5.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Paso 5.1.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Paso 5.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - x^{2}$

Paso 5.1.3

Reordena $1$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Paso 5.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Paso 5.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 5.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 5.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 5.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Paso 5.5.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Paso 5.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Paso 5.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e = 1$

Paso 5.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Paso 6

Sea $u = x + 0$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + 0$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 0$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Paso 6.1.4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Paso 7.2

Reordena $- u^{2}$ y $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Paso 10

Suma $x$ y $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$