Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Separa las fracciones.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

Paso 9.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$