Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Paso 9.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$