Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x \ln (x)}$ se acerca a $0$ .

$e^{0}$

Paso 5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$