Cálculo Ejemplos

$\int - (4 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 (x^{2} + x + 5) + 4) (2 x + 1) d x$

Paso 1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int (4 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 (x^{2} + x + 5) + 4) (2 x + 1) d x$

Paso 2

Sea $u = x^{2} + x + 5$ . Entonces $d u = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{2} + x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Paso 2.1.6

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$2 x + 1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int 4 u^{2} + 3 u + 4 d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int 4 u^{2} d u + \int 3 u d u + \int 4 d u)$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int u^{2} d u + \int 3 u d u + \int 4 d u)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (4 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 3 u d u + \int 4 d u)$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (4 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 3 \int u d u + \int 4 d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (4 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 4 d u)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$- (4 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 4 u + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (4 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 4 u + C)$

Paso 9.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$- (4 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 4 u + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$- (\frac{4 u^{3}}{3} + \frac{3 u^{2}}{2} + 4 u) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + x + 5$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2} + 4 (x^{2} + x + 5)) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Obtén el denominador común

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Paso 11.1.1

Multiplica $\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2} + 4 (x^{2} + x + 5)) + C$

Paso 11.1.2

Multiplica $\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2} + 4 (x^{2} + x + 5)) + C$

Paso 11.1.3

Multiplica $\frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2} \cdot \frac{3}{3} + 4 (x^{2} + x + 5)) + C$

Paso 11.1.4

Multiplica $\frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + 4 (x^{2} + x + 5)) + C$

Paso 11.1.5

Escribe $4 (x^{2} + x + 5)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 (x^{2} + x + 5)}{1}) + C$

Paso 11.1.6

Multiplica $\frac{4 (x^{2} + x + 5)}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 (x^{2} + x + 5)}{1} \cdot \frac{6}{6}) + C$

Paso 11.1.7

Multiplica $\frac{4 (x^{2} + x + 5)}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6}{6}) + C$

Paso 11.1.8

Reordena los factores de $3 \cdot 2$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6}{6}) + C$

Paso 11.1.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{6} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6}{6}) + C$

Paso 11.1.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$- (\frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2}{6} + \frac{3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3}{6} + \frac{4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6}{6}) + C$

Paso 11.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2 + 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3 + 4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6}{6} + C$

Paso 11.3

Reordena los factores en $4 {(x^{2} + x + 5)}^{3} \cdot 2 + 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} \cdot 3 + 4 (x^{2} + x + 5) \cdot 6$ .

$- \frac{4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{3} + 3 \cdot 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 4 \cdot 6 (x^{2} + x + 5)}{6} + C$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{3} + 3 \cdot 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 4 \cdot 6 (x^{2} + x + 5)$ .

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Paso 11.4.1.1

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{3}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2}) + 3 \cdot 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 4 \cdot 6 (x^{2} + x + 5)}{6} + C$

Paso 11.4.1.2

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $3 \cdot 3 {(x^{2} + x + 5)}^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2}) + (x^{2} + x + 5) (3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5)) + 4 \cdot 6 (x^{2} + x + 5)}{6} + C$

Paso 11.4.1.3

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $4 \cdot 6 (x^{2} + x + 5)$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2}) + (x^{2} + x + 5) (3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5)) + (x^{2} + x + 5) (4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.1.4

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2}) + (x^{2} + x + 5) (3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5))$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5)) + (x^{2} + x + 5) (4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.1.5

Factoriza $x^{2} + x + 5$ de $(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5)) + (x^{2} + x + 5) (4 \cdot 6)$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (4 \cdot 2 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 {(x^{2} + x + 5)}^{2} + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.3

Reescribe ${(x^{2} + x + 5)}^{2}$ como $(x^{2} + x + 5) (x^{2} + x + 5)$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 ((x^{2} + x + 5) (x^{2} + x + 5)) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.4

Expande $(x^{2} + x + 5) (x^{2} + x + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 11.4.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.4.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{2 + 2} + x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.4.5.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 11.4.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + x^{2} \cdot 5 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 \cdot x^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.4.5.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 11.4.5.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + x^{3} + x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + x^{3} + x \cdot x + 5 \cdot x + 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 5) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.5.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + x^{3} + x \cdot x + 5 x + 5 x^{2} + 5 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.6

Suma $x^{3}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} + x \cdot x + 5 x + 5 x^{2} + 5 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.7

Suma $5 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot x + 5 x + 5 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.8

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot x + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.9

Multiplica $8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot x + 10 x + 25)$ .

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Paso 11.4.9.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{1} x + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.9.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{1} x^{1} + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{1 + 1} + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{2} + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.10

Suma $10 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 (x^{4} + 2 x^{3} + 11 x^{2} + 10 x + 25) + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.11

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 8 (2 x^{3}) + 8 (11 x^{2}) + 8 (10 x) + 8 \cdot 25 + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.12

Simplifica.

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Paso 11.4.12.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 8 (11 x^{2}) + 8 (10 x) + 8 \cdot 25 + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.12.2

Multiplica $11$ por $8$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 8 (10 x) + 8 \cdot 25 + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.12.3

Multiplica $10$ por $8$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 8 \cdot 25 + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.12.4

Multiplica $8$ por $25$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 200 + 3 \cdot 3 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.13

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 200 + 9 (x^{2} + x + 5) + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.14

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 200 + 9 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 5 + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.15

Multiplica $9$ por $5$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 200 + 9 x^{2} + 9 x + 45 + 4 \cdot 6)}{6} + C$

Paso 11.4.16

Multiplica $4$ por $6$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 88 x^{2} + 80 x + 200 + 9 x^{2} + 9 x + 45 + 24)}{6} + C$

Paso 11.4.17

Suma $88 x^{2}$ y $9 x^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 97 x^{2} + 80 x + 200 + 9 x + 45 + 24)}{6} + C$

Paso 11.4.18

Suma $80 x$ y $9 x$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 97 x^{2} + 89 x + 200 + 45 + 24)}{6} + C$

Paso 11.4.19

Suma $200$ y $45$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 97 x^{2} + 89 x + 245 + 24)}{6} + C$

Paso 11.4.20

Suma $245$ y $24$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 5) (8 x^{4} + 16 x^{3} + 97 x^{2} + 89 x + 269)}{6} + C$