Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} | x |$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = | x |$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$x^{2} \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x^{2} x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | (2 x)$

Paso 1.1.1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.4

Combina $\frac{x}{| x |}$ y $x^{3}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x \cdot x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.2.5.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.2.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1} x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1 + 3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.2.5.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x | x |$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x | x |]$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x | x |]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.3.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.5

Combina $x$ y $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x \cdot x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1 + 1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.1.2.3.10

Multiplica $| x |$ por $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x |)$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Paso 1.1.2.4.2.2

Para escribir $2 | x |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.4

Multiplica $| x |$ por ${| x |}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.2.4.1

Mueve ${| x |}^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} | x |)}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.4.2

Multiplica ${| x |}^{2}$ por $| x |$ .

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Paso 1.1.2.4.2.4.2.1

Eleva $| x |$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} {| x |}^{1})}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{2 + 1}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{3 | x | x^{2} - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.2

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.3

Para escribir $2 {| x |}^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + \frac{2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1

Multiplica ${| x |}^{3}$ por $| x |$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Mueve $| x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 (| x | {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplica $| x |$ por ${| x |}^{3}$ .

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Eleva $| x |$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 ({| x |}^{1} {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{1 + 3}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.3

Suma $- x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.6

Para escribir $3 x^{2} | x |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + \frac{3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.4.3.1.8.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |$ .

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Paso 1.1.2.4.3.1.8.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} | x | | x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.2

Multiplica $3 | x | | x |$ .

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Paso 1.1.2.4.3.1.8.2.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x \cdot x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x^{1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1 + 1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{2} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.3

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 x^{2})}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.4

Suma $x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 4 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.3.1.8.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2 + 2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.8.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.4

Combinar.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.4.3.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{4} \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.4.3.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $| x | x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Paso 1.1.2.4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Paso 1.1.2.4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2} \cdot 1}{| x |}$

Paso 1.1.2.4.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.1.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} + 4 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.1.2.4.5

Suma $2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 x^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $6 x^{2} = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $6 x^{2} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

La gráfica es convexa porque la segunda derivada es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 4