Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{3}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{15}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 13$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Combina $\frac{12}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.4

Divide $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 39$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 39 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{3} - 39 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 39$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 78 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{3} - 78 x$ .

$6 x^{3} - 78 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{3} - 78 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x^{3} - 78 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 78 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 78 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $6 x$ de $- 78 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 13) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 13)$ .

$6 x (x^{2} - 13) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 13 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 13$ igual a $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 13$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{13}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{13}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{13}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x (x^{2} - 13) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} - 13 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 - 13 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 13$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\sqrt{13}$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{13}$ en la expresión.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(\sqrt{13})}^{5} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{13}}^{5}$ como $\sqrt{13^{5}}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{13^{5}} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $13$ a la potencia de $5$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{371293} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe $371293$ como $169^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Factoriza $28561$ de $371293$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{28561 (13)} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Reescribe $28561$ como $169^{2}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (169 \sqrt{13}) - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $\frac{3}{10} (169 \sqrt{13})$ .

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Paso 3.3.2.1.5.1

Combina $169$ y $\frac{3}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Multiplica $169$ por $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5.3

Combina $\frac{507}{10}$ y $\sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{3}$ como $\sqrt{13^{3}}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{3}}$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{2197}$

Paso 3.3.2.1.8

Reescribe $2197$ como $13^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.3.2.1.8.1

Factoriza $169$ de $2197$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{169 (13)}$

Paso 3.3.2.1.8.2

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{2} \cdot 13}$

Paso 3.3.2.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (13 \sqrt{13})$

Paso 3.3.2.1.10

Multiplica $13$ por $- 13$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- 169 \sqrt{13}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Paso 3.3.2.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.3.1

Combina $- 169 \sqrt{13}$ y $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{- 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Paso 3.3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $10$ por $- 169$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 1690 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.3.2.4.2

Resta $1690 \sqrt{13}$ de $507 \sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{- 1183 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\sqrt{13}) = - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt{13}$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ es $(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Paso 3.5

Sustituye $- \sqrt{13}$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{13}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(- \sqrt{13})}^{5} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{13}}^{5}$ como $\sqrt{13^{5}}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{13^{5}}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.4

Eleva $13$ a la potencia de $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{371293}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.5

Reescribe $371293$ como $169^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.5.2.1.5.1

Factoriza $28561$ de $371293$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{28561 (13)}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.5.2

Reescribe $28561$ como $169^{2}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{169^{2} \cdot 13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- (169 \sqrt{13})) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.7

Multiplica $169$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- 169 \sqrt{13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.8

Multiplica $\frac{3}{10} (- 169 \sqrt{13})$ .

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Paso 3.5.2.1.8.1

Combina $- 169$ y $\frac{3}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.8.2

Multiplica $- 169$ por $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.8.3

Combina $\frac{- 507}{10}$ y $\sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.10

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3})$

Paso 3.5.2.1.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- {\sqrt{13}}^{3})$

Paso 3.5.2.1.12

Reescribe ${\sqrt{13}}^{3}$ como $\sqrt{13^{3}}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{3}})$

Paso 3.5.2.1.13

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{2197})$

Paso 3.5.2.1.14

Reescribe $2197$ como $13^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.5.2.1.14.1

Factoriza $169$ de $2197$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{169 (13)})$

Paso 3.5.2.1.14.2

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{2} \cdot 13})$

Paso 3.5.2.1.15

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- (13 \sqrt{13}))$

Paso 3.5.2.1.16

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- 13 \sqrt{13})$

Paso 3.5.2.1.17

Multiplica $- 13$ por $- 13$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13}$

Paso 3.5.2.2

Para escribir $169 \sqrt{13}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Paso 3.5.2.3

Combina fracciones.

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Paso 3.5.2.3.1

Combina $169 \sqrt{13}$ y $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Paso 3.5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.1

Multiplica $10$ por $169$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 1690 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.5.2.4.2

Suma $- 507 \sqrt{13}$ y $1690 \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.5.2.5

La respuesta final es $\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt{13}$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ es $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt{13}) \cup (- \sqrt{13}, 0) \cup (0, \sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{13})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.70555127$ en la expresión.

$f'' (- 3.70555127) = 6 {(- 3.70555127)}^{3} - 78 \cdot - 3.70555127$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.70555127$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.70555127) = 6 \cdot - 50.88133311 - 78 \cdot - 3.70555127$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 50.88133311$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 - 78 \cdot - 3.70555127$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 78$ por $- 3.70555127$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 + 289.03299948$

Paso 5.2.2

Suma $- 305.28799871$ y $289.03299948$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 16.25499922$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 16.25499922$ .

$- 16.25499922$

Paso 5.3

En $- 3.70555127$ , la segunda derivada es $- 16.25499922$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \sqrt{13})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt{13})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt{13}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.80277563$ en la expresión.

$f'' (- 1.80277563) = 6 {(- 1.80277563)}^{3} - 78 \cdot - 1.80277563$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.80277563$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.80277563) = 6 \cdot - 5.85902082 - 78 \cdot - 1.80277563$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 5.85902082$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 - 78 \cdot - 1.80277563$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 78$ por $- 1.80277563$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 + 140.61649974$

Paso 6.2.2

Suma $- 35.15412493$ y $140.61649974$ .

$f'' (- 1.80277563) = 105.4623748$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $105.4623748$ .

$105.4623748$

Paso 6.3

En $- 1.80277563$ , la segunda derivada es $105.4623748$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \sqrt{13}, 0)$ .

Incremento en $(- \sqrt{13}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{13})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.80277563$ en la expresión.

$f'' (1.80277563) = 6 {(1.80277563)}^{3} - 78 \cdot 1.80277563$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.80277563$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.80277563) = 6 \cdot 5.85902082 - 78 \cdot 1.80277563$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $5.85902082$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 78 \cdot 1.80277563$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 78$ por $1.80277563$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 140.61649974$

Paso 7.2.2

Resta $140.61649974$ de $35.15412493$ .

$f'' (1.80277563) = - 105.4623748$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 105.4623748$ .

$- 105.4623748$

Paso 7.3

En $1.80277563$ , la segunda derivada es $- 105.4623748$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \sqrt{13})$ .

Decrecimiento en $(0, \sqrt{13})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{13}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.70555127$ en la expresión.

$f'' (3.70555127) = 6 {(3.70555127)}^{3} - 78 \cdot 3.70555127$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3.70555127$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3.70555127) = 6 \cdot 50.88133311 - 78 \cdot 3.70555127$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $6$ por $50.88133311$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 78 \cdot 3.70555127$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 78$ por $3.70555127$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 289.03299948$

Paso 8.2.2

Resta $289.03299948$ de $305.28799871$ .

$f'' (3.70555127) = 16.25499922$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $16.25499922$ .

$16.25499922$

Paso 8.3

En $3.70555127$ , la segunda derivada es $16.25499922$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\sqrt{13}, \infty)$ .

Incremento en $(\sqrt{13}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ .

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Paso 10