Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ a $\csc^{2} (4 x)$ .

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 5

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = 3 x + 2$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 7.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.2.2

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.2.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 9.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 11.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 12

Combina $\csc^{2} (u_{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14

Como la derivada de $- \cot (u_{2})$ es $\csc^{2} (u_{2})$ , la integral de $\csc^{2} (u_{2})$ es $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Paso 15.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cot (u_{2})$ .

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x + 2$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$