Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Entonces $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 x^{3} + 4 x$ y $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Paso 1.3.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $9$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Paso 1.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Paso 1.5.3

Suma $3$ y $9$ .

$u_{upper} = 12$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $u^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $12$ y en $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 5.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Paso 5.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Paso 5.2.6

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Paso 5.2.7

Combina $- 27$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Paso 5.2.8

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $- 54$ y $3$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $3$ de $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Paso 5.2.9.2.4

Divide $- 18$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Paso 6.2

Combinar.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

Paso 6.3.2

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Paso 6.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Paso 6.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.3

Multiplica $12^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

Paso 6.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$2.42820323 \dots$

Paso 8