Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

Paso 1

Factoriza $3$ de $27 x^{3} + 12$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $27 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

Paso 1.3

Factoriza $3$ de $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 3.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Paso 5.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Paso 7.1.2

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 7.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

Paso 9.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.2.1

Divide $9 + 4 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Paso 9.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

Paso 9.2.3.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

Paso 9.2.3.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Paso 9.2.3.4

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Paso 9.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{1}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$