Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 x^{3} - 24}{x^{2} + x - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} - 3 x^{3} - 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} 3 x^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to - 2} x^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} - lim_{x \to - 2} 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $24$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3} - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{- 3 {(- 2)}^{3} - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 3 \cdot - 8 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $24$ de $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + x - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 2}$

Paso 1.1.3.5.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.5.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 x^{3} - 24}{x^{2} + x - 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3} - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3} - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{3} - 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.4

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.5

Suma $- 9 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 9 x^{2}}{2 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 9 lim_{x \to - 2} \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$- 9 \frac{lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 1}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 1}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$- 9 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$- 9 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$- 9 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 \cdot - 2 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 9 \frac{4}{2 \cdot - 2 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 9 \frac{4}{- 4 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$- 9 (\frac{4}{- 3})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$3 (- 3) \frac{4}{- 3}$

Paso 4.3.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 \cdot - 3 \frac{4}{3 \cdot - 1}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 3 \frac{4}{3 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{4}{- 1})$

Paso 4.4

Combina $- 3$ y $\frac{4}{- 1}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{- 1}$

Paso 4.5

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12}{- 1}$

Paso 4.6

Divide $- 12$ por $- 1$ .

$12$