Cálculo Ejemplos

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 - 3 x^{5}$ . Entonces $d u = - 15 x^{4} d x$ , de modo que $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 - 3 x^{5}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 - 3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$0 - 3 (5 x^{4})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$0 - 15 x^{4}$

Paso 2.1.4

Resta $15 x^{4}$ de $0$ .

$- 15 x^{4}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

Paso 3.2

Combina $u^{7}$ y $\frac{1}{15}$ .

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{15}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{15}$ fuera de la integral.

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{15}$ y $- 6$ .

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $15$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $40$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 3 x^{5}$ .

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$