Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{2 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} + x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 1}{1}$

Paso 2.4

Divide $2 x + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x + 1$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + 1)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 + 1)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 1)$

Paso 5.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$