Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la fracción $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ en dos fracciones.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = 9 + 16 x^{2}$ . Entonces $d u = 32 x d x$ , de modo que $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 9 + 16 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$0 + 32 x$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $32 x$ .

$32 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 5.2

Mueve $32$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{32}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{32}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{32}$ y $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ y $32$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Paso 9

Factoriza $16$ de $9 + 16 x^{2}$ .

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Paso 9.1

Factoriza $16$ de $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Paso 9.2

Factoriza $16$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Paso 9.3

Factoriza $16$ de $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Paso 11

Reescribe $\frac{9}{16}$ como ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Paso 13.1.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Paso 13.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Paso 13.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Paso 13.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Paso 13.1.6

Combina $\frac{4}{3}$ y $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3.2

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $48$ .

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Paso 13.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 13.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$