Cálculo Ejemplos

$\int 5 x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 - 3 x^{4}$ . Entonces $d u = - 12 x^{3} d x$ , de modo que $- \frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 - 3 x^{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 - 3 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 - 3 (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$0 - 12 x^{3}$

Paso 2.1.4

Resta $12 x^{3}$ de $0$ .

$- 12 x^{3}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 12} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{12}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{12} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{12} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{12} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{1}{12} \int e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $- 5$ .

$\frac{- 5}{12} \int e^{u} d u$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{12} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{5}{12} (e^{u} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$- \frac{5}{12} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 3 x^{4}$ .

$- \frac{5}{12} e^{2 - 3 x^{4}} + C$