Cálculo Ejemplos

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Paso 3

La derivada de $v'$ con respecto a $r$ es $v''$ .

$v''$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Combina fracciones.

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Paso 4.1.1

Combina $π$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{π \cdot 4}{3}$ y $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Paso 4.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Paso 4.2

Como $\frac{4 π}{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $3$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

Paso 4.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

Paso 4.4.3

Combina $\frac{12 π}{3}$ y $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 4.4.4.1

Factoriza $3$ de $12 π r^{2}$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

Paso 4.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

Paso 4.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 4.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

Paso 4.4.4.2.4

Divide $4 π r^{2}$ por $1$ .

$4 π r^{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$v'' = 4 π r^{2}$

Paso 6

Reemplaza $v'$ con $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$