Cálculo Ejemplos

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Paso 1

Escribe $(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ como una función.

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina $\frac{5}{8}$ y $x^{4}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

Paso 4.1.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $\frac{5 x^{4}}{8}$ y $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{5 x^{4} d}{8} x$ .

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Paso 4.5.1.1

Combina $\frac{5 x^{4} d}{8}$ y $x$ .

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.1.4

Suma $4$ y $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.2.1

Mueve $x$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.5.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Paso 4.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Paso 6

Dado que $\frac{5 d}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5 d}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Paso 9

Dado que $- 3 d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3 d$ fuera de la integral.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

Paso 11

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

Paso 14

Elimina los paréntesis.

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$