Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6, - 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $6$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $- 12$ por $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Paso 3.3.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Escribe $- 1296$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1296}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1296}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Paso 3.3.2.2.4

Escribe $- 2592$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Paso 3.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $- 1296$ por $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 3.3.2.4.2

Multiplica $- 2592$ por $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.5.1

Resta $6480$ de $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Paso 3.3.2.5.2

Resta $12960$ de $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Paso 3.3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(6, - \frac{11664}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Paso 3.5

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Paso 3.5.2.1.7

Multiplica $- 12$ por $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Paso 3.5.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Escribe $- 81$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Paso 3.5.2.2.2

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Paso 3.5.2.2.4

Escribe $324$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Paso 3.5.2.2.5

Multiplica $\frac{324}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.5.2.2.6

Multiplica $\frac{324}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Paso 3.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1

Multiplica $- 81$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $324$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Paso 3.5.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1

Resta $405$ de $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Paso 3.5.2.5.2

Suma $- 648$ y $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ es $(- 3, \frac{972}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $115.32$ de $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 234.484$ y $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 11.284$ .

$- 11.284$

Paso 5.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 11.284$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.12

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.12.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.12.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.13

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Paso 6.2.1.14

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.14.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Paso 6.2.1.14.2

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Paso 6.2.1.14.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Paso 6.2.1.14.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Paso 6.2.1.15

Multiplica $- 36$ por $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Escribe $- 27$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Paso 6.2.2.4

Escribe $108$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $108$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Resta $54$ de $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 81$ y $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Paso 6.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $67.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Paso 7.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $108$ de $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Paso 7.2.2.2

Resta $216$ de $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 216$ .

$- 216$

Paso 7.3

En $3$ , la segunda derivada es $- 216$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 6)$ .

Decrecimiento en $(0, 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $6.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Paso 8.2.1.3

Eleva $6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $- 72$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Resta $446.52$ de $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Paso 8.2.2.2

Resta $439.2$ de $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $22.204$ .

$22.204$

Paso 8.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $22.204$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Paso 10