Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{3 x^{3} + 6} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{3} + 6$ . Entonces $d u = 9 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{3} + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} + 6$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 6$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $6$ .

$u_{lower} = 6$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} + 6$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 6$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 + 6$

Paso 1.5.2

Suma $3$ y $6$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{6}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{6}^{9}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $6$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 6.2.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Combina $6^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{6^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot 18 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (2)) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 2) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{9 \cdot 3}$

Paso 7.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Forma decimal:

$0.91133789 \dots$

Paso 9