Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Paso 4

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Paso 6

Expande $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.4

Resta $2$ de $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.5

Simplifica.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.7

Resta $2$ de $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.9

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Paso 6.10

Mueve $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Paso 10

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$