Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Paso 1

Escribe $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ como una función.

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Como $\frac{2}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{15} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $6$ y $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{12}{15}$ y $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $5$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.5

Combina $\frac{20}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.4

Divide $4 x^{4}$ por $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{4} - 36 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 36 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{4} - 36 x^{2} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{4} - 36 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 36 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 36 u = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $4 u$ de $4 u^{2} - 36 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Factoriza $4 u$ de $4 u^{2}$ .

$4 u (u) - 36 u = 0$

Paso 3.2.3.2

Factoriza $4 u$ de $- 36 u$ .

$4 u (u) + 4 u (- 9) = 0$

Paso 3.2.3.3

Factoriza $4 u$ de $4 u (u) + 4 u (- 9)$ .

$4 u (u - 9) = 0$

Paso 3.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x^{2} - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $x^{2} - 9$ igual a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $x^{2} - 9 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 9$

Paso 3.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.5.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 3.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 3.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 3.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3, - 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - 3 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{15}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot {(3)}^{6} - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$f (3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $729$ .

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $243$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $243$ .

$f (3) = \frac{486}{5} - 3 {(3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (3) = \frac{486}{5} - 3 \cdot 81$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $81$ .

$f (3) = \frac{486}{5} - 243$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- 243$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} - 243 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.3

Combina $- 243$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{- 243 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{486 - 243 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $- 243$ por $5$ .

$f (3) = \frac{486 - 1215}{5}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $1215$ de $486$ .

$f (3) = \frac{- 729}{5}$

Paso 4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = - \frac{729}{5}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{729}{5}$ .

$- \frac{729}{5}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ es $(3, - \frac{729}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, - \frac{729}{5})$

Paso 4.5

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $729$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $243$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - 3 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.5.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + (- 3) {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 3) = \frac{486}{5} + {(- 3)}^{1 + 4}$

Paso 4.5.2.1.5.2

Suma $1$ y $4$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + {(- 3)}^{5}$

Paso 4.5.2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - 243$

Paso 4.5.2.2

Para escribir $- 243$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - 243 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.5.2.3

Combina $- 243$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{- 243 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{486 - 243 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.5.1

Multiplica $- 243$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 - 1215}{5}$

Paso 4.5.2.5.2

Resta $1215$ de $486$ .

$f (- 3) = \frac{- 729}{5}$

Paso 4.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{729}{5}$

Paso 4.5.2.7

La respuesta final es $- \frac{729}{5}$ .

$- \frac{729}{5}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ es $(- 3, - \frac{729}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, - \frac{729}{5})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (3, - \frac{729}{5}), (- 3, - \frac{729}{5})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 36 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 36 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 36 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 36 \cdot 9.61$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 345.96$

Paso 6.2.2

Resta $345.96$ de $369.4084$ .

$f'' (- 3.1) = 23.4484$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $23.4484$ .

$23.4484$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $23.4484$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 7.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.12

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.12.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 9) (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.12.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 9 (\frac{9}{4}))$

Paso 7.2.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 9 \cdot 9$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 81$

Paso 7.2.2

Para escribir $- 81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina $- 81$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 81$ por $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 - 324}{4}$

Paso 7.2.5.2

Resta $324$ de $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 243}{4}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{243}{4}$

Paso 7.2.7

La respuesta final es $- \frac{243}{4}$ .

$- \frac{243}{4}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $- 60.75$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{4} - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 36 (\frac{9}{4})$

Paso 8.2.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 9) (\frac{9}{4})$

Paso 8.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 9 (\frac{9}{4}))$

Paso 8.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 9 \cdot 9$

Paso 8.2.1.9

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 81$

Paso 8.2.2

Para escribir $- 81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 8.2.3

Combina $- 81$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.1

Multiplica $- 81$ por $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 324}{4}$

Paso 8.2.5.2

Resta $324$ de $81$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 243}{4}$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{4}$

Paso 8.2.7

La respuesta final es $- \frac{243}{4}$ .

$- \frac{243}{4}$

Paso 8.3

En $\frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $- 60.75$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.1$ en la expresión.

$f'' (3.1) = 4 {(3.1)}^{4} - 36 {(3.1)}^{2}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 36 {(3.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $4$ por $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 - 36 {(3.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 - 36 \cdot 9.61$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $9.61$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 - 345.96$

Paso 9.2.2

Resta $345.96$ de $369.4084$ .

$f'' (3.1) = 23.4484$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $23.4484$ .

$23.4484$

Paso 9.3

En $3.1$ , la segunda derivada es $23.4484$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, - \frac{729}{5}), (3, - \frac{729}{5})$ .

$(- 3, - \frac{729}{5}), (3, - \frac{729}{5})$

Paso 11