Cálculo Ejemplos

$- 2 x^{3} y + 2 x = 3 - 3 y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{3} y + 2 x) = \frac{d}{d x} (3 - 3 y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{3} y + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$- 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$- 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x^{3} y') - 2 (3 y x^{2}) + 2$

Paso 2.4.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 2 x^{3} y' - 6 y x^{2} + 2$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$0 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 3 (2 y y')$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 y y'$

Paso 3.3

Resta $6 y y'$ de $0$ .

$- 6 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 = - 6 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $6 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 + 6 y y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $6 x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} y' + 2 + 6 y y' = 6 x^{2} y$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} y' + 6 y y' = 6 x^{2} y - 2$

Paso 5.3

Factoriza $2 y'$ de $- 2 x^{3} y' + 6 y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 y'$ de $- 2 x^{3} y'$ .

$2 y' (- x^{3}) + 6 y y' = 6 x^{2} y - 2$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y'$ de $6 y y'$ .

$2 y' (- x^{3}) + 2 y' (3 y) = 6 x^{2} y - 2$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- x^{3}) + 2 y' (3 y)$ .

$2 y' (- x^{3} + 3 y) = 6 x^{2} y - 2$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 y' (- x^{3} + 3 y) = 6 x^{2} y - 2$ por $2 (- x^{3} + 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 y' (- x^{3} + 3 y) = 6 x^{2} y - 2$ por $2 (- x^{3} + 3 y)$ .

$\frac{2 y' (- x^{3} + 3 y)}{2 (- x^{3} + 3 y)} = \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (- x^{3} + 3 y)}{2 (- x^{3} + 3 y)} = \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x^{3} + 3 y)}{- x^{3} + 3 y} = \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $- x^{3} + 3 y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x^{3} + 3 y)}{- x^{3} + 3 y} = \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (- x^{3} + 3 y)} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y} + \frac{- 2}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (- x^{3} + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y} + \frac{- 1}{- x^{3} + 3 y}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + 3 y} - \frac{1}{- x^{3} + 3 y}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{- x^{3} + 3 y}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{- (x^{3}) + 3 y}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{- (x^{3}) - (- 3 y)}$

Paso 5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{- (x^{3} - 3 y)}$

Paso 5.4.3.2.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.2.5.1

Reescribe $- (x^{3} - 3 y)$ como $- 1 (x^{3} - 3 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{- 1 (x^{3} - 3 y)}$

Paso 5.4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} y - 1}{x^{3} - 3 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y - 1}{x^{3} - 3 y}$