Cálculo Ejemplos

$\int x (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int x \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- 1} + C$