Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Entonces $d u = (2 x + 2) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$2 x + 2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Paso 1.5.3

Suma $8$ y $1$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2)$

Paso 6.2.8

Resta $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 6.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2}$

Paso 6.2.10

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.10.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 6.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1}$

Paso 6.2.10.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7