Cálculo Ejemplos

$Z = \frac{X Y}{X + Y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d X} (Z) = \frac{d}{d X} (\frac{X Y}{X + Y})$

Paso 2

La derivada de $Z$ con respecto a $X$ es $Z'$ .

$Z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $Y$ es constante con respecto a $X$ , la derivada de $\frac{X Y}{X + Y}$ con respecto a $X$ es $Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$ .

$Y \frac{d}{d X} [\frac{X}{X + Y}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d X} [\frac{f (X)}{g (X)}]$ es $\frac{g (X) \frac{d}{d X} [f (X)] - f (X) \frac{d}{d X} [g (X)]}{{g (X)}^{2}}$ donde $f (X) = X$ y $g (X) = X + Y$ .

$Y \frac{(X + Y) \frac{d}{d X} [X] - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ es $n X^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$Y \frac{(X + Y) \cdot 1 - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $X + Y$ por $1$ .

$Y \frac{X + Y - X \frac{d}{d X} [X + Y]}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $X + Y$ con respecto a $X$ es $\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y]$ .

$Y \frac{X + Y - X (\frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ es $n X^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$Y \frac{X + Y - X (1 + \frac{d}{d X} [Y])}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Como $Y$ es constante con respecto a $X$ , la derivada de $Y$ con respecto a $X$ es $0$ .

$Y \frac{X + Y - X (1 + 0)}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$Y \frac{X + Y - X \cdot 1}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$Y \frac{X + Y - X}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.6.3

Resta $X$ de $X$ .

$Y \frac{Y + 0}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.6.4

Suma $Y$ y $0$ .

$Y \frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.3.6.5

Combina $Y$ y $\frac{Y}{{(X + Y)}^{2}}$ .

$\frac{Y \cdot Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.4

Eleva $Y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{Y^{1} Y}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.5

Eleva $Y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{Y^{1} Y^{1}}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{Y^{1 + 1}}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$Z' = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $Z'$ con $\frac{d Z}{d X}$ .

$\frac{d Z}{d X} = \frac{Y^{2}}{{(X + Y)}^{2}}$