Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla del cociente. Mathway usará otro método.

Paso 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ es una antiderivada de $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ , por lo que, por definición, $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ es $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Paso 3.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 3.7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 3.7.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{\sin (x)}$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Paso 3.7.3

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Paso 3.7.3.1

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.7.3.2

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.3.2.1

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 3.7.3.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.7.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

Paso 3.7.3.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.2

Separa las fracciones.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.4

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.5

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.6

Separa las fracciones.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8.7

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

Paso 3.8.8

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$