Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{5} [2 y - (y^{2} - 15)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 3}^{5} 2 y - (y^{2} - 15) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{5} 2 y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- 3}^{5} y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Paso 6

Multiplica $- (y^{2} - 15)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} - - 15 d y$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} + 15 d y$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $5$ y en $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $5$ y en $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Paso 13.3

Evalúa $15 y$ en $5$ y en $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{25 - 9}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.4

Resta $9$ de $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.5

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 13.4.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{8}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.5.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$2 \cdot 8 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.7

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.8

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.9

Cancela el factor común de $- 27$ y $3$ .

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Paso 13.4.9.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.9.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$16 - (\frac{125}{3} - - 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.10

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.11

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.12

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.14.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$16 - \frac{125 + 27}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.14.2

Suma $125$ y $27$ .

$16 - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.15

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.16

Combina $16$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 \cdot 3 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.18.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{48 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.18.2

Resta $152$ de $48$ .

$\frac{- 104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.20

Multiplica $15$ por $5$ .

$- \frac{104}{3} + 75 - 15 \cdot - 3$

Paso 13.4.21

Multiplica $- 15$ por $- 3$ .

$- \frac{104}{3} + 75 + 45$

Paso 13.4.22

Suma $75$ y $45$ .

$- \frac{104}{3} + 120$

Paso 13.4.23

Para escribir $120$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 13.4.24

Combina $120$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 104 + 120 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.26

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.26.1

Multiplica $120$ por $3$ .

$\frac{- 104 + 360}{3}$

Paso 13.4.26.2

Suma $- 104$ y $360$ .

$\frac{256}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{256}{3}$

Forma decimal:

$85.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$85 \frac{1}{3}$

Paso 15