Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ y $\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 4.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.2

Combinar.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.3

Multiplica $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.4

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 4.4.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.5

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.6

Combinar.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.7

Multiplica $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.8

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 36} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.9

Multiplica $2$ por $36$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{72} + \frac{1}{2})$

Paso 4.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.12

Para escribir $\frac{π^{2}}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $72$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.4.13.1

Multiplica $\frac{π^{2}}{8}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.13.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.15

Resta $π^{2}$ de $π^{2} \cdot 9$ .

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Paso 4.4.15.1

Reordena $π^{2}$ y $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.15.2

Resta $π^{2}$ de $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.16

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2 - 1}{2}$

Paso 4.4.18

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Cancela el factor común de $8$ y $72$ .

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Paso 5.1

Factoriza $8$ de $8 \cdot π^{2}$ .

$\frac{8 (π^{2})}{72} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Factoriza $8$ de $72$ .

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$1.59662271 \dots$