Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 1

Reordena $1$ y $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Paso 2

Divide $x$ por $- x + 1$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Paso 2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = - x + 1$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 5.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Paso 5.5.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- x$ en $2$ y en $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 1$ y en $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Paso 11.3

Divide $1$ por $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Paso 11.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 2 - 0$

Paso 11.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 + 0$

Paso 11.6

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2$

Paso 12