Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{x^{3}}{2 x + 3} d x$

Paso 2

Divide $x^{3}$ por $2 x + 3$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$\frac{x^{2}}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Paso 2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{3 x^{2}}{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Paso 2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	-	$\frac{9 x}{4}$

Paso 2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4}$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$

Paso 2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$

Paso 2.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Paso 2.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $\frac{9 x}{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Paso 2.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

Paso 2.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $\frac{9 x}{4} + \frac{27}{8}$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

Paso 2.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

Paso 2.16

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$4 \int \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 8

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int x d x) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} x + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 12

Combina $\frac{9}{8}$ y $x$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Paso 14

Dado que $\frac{27}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{27}{8}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 x + 3} d x))$

Paso 15

Sea $u = 2 x + 3$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 15.1

Deja $u = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 15.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 15.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 15.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 15.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 15.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 15.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 15.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 15.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 15.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 16.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 17

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 18.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 19

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u |) + C))$

Paso 20

Simplifica.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| u |)}{16}) + C$

Paso 21

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Para escribir $\frac{x^{3}}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Paso 22.2

Para escribir $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 22.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $48$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 22.3.1

Multiplica $\frac{x^{3}}{6}$ por $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 22.3.2

Multiplica $6$ por $8$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 22.3.3

Multiplica $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

Paso 22.3.4

Multiplica $16$ por $3$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 22.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 22.5

Simplifica el numerador.

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Paso 22.5.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 22.5.2

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

Paso 22.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7

Simplifica.

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Paso 22.7.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{2}}{8}$ al numerador.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.1.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.1.3

Cancela el factor común.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.7.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 22.7.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.7.3.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

Paso 22.7.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

Paso 22.7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Paso 22.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Paso 23

Reordena los términos.

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$