Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{8 - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{8 - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\int \frac{2 (4) - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\int \frac{2 (4) + 2 (- 2 x) + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (- 2 x)$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x) + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.4

Factoriza $2$ de $6 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x) + 2 (3 x^{\frac{4}{3}}) + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.5

Factoriza $2$ de $2 (4 - 2 x) + 2 (3 x^{\frac{4}{3}})$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.6

Factoriza $2$ de $12 \sqrt[3]{x^{8}}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 \sqrt[3]{x^{8}})}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.7

Factoriza $2$ de $2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 \sqrt[3]{x^{8}})$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt[3]{x}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{2 (2 \sqrt[3]{x})} d x$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{2 (2 \sqrt[3]{x})} d x$

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{8}}$ como $x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 4.3

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 4.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x) x^{- \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{1 - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{3 - 1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.8

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4 - 1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.11

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{3}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{3}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{1} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.13

Simplifica.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8 - 1}{3}} d x$

Paso 5.16

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Paso 5.17

Mueve $- 2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} + 3 x - 2 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Paso 5.18

Reordena $4 x^{- \frac{1}{3}}$ y $3 x$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Paso 5.19

Mueve $- 2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} d x$

Paso 5.20

Mueve $4 x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 6 x^{\frac{7}{3}} + 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 9

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{7}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 11

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 13

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{2}{3}} d x)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x^{\frac{10}{3}}}{5} + 6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{5}) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{5} x^{\frac{10}{3}} + 6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$