Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$ como ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 7.2.2

Mueve ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{x} + 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Paso 8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Paso 9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 10

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$ .

$(2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}) \frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.2

Multiplica $2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}$ por $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$