Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (0)}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Paso 1.1.3.5.1.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.7

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 2.8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 1}{7 + \sec^{2} (0)}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{5 - 3}{7 + \sec^{2} (0)}$

Paso 4.1.3

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{2}{7 + \sec^{2} (0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{7 + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{7 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma $7$ y $1$ .

$\frac{2}{8}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$